Ein Kegelschnitt ist eine Kurve, die entsteht, wenn eine Ebene einen Kegel unter einem bestimmten Winkel schneidet. Es gibt drei Arten von Kegelschnitten – Ellipse, Parabel und Hyperbel.
Eine Ellipse ist eine ebene Kurve mit zwei Brennpunkten und ähnelt in gewisser Weise einem Kreis. Parabel und Hyperbel sind jedoch verwirrende Abschnitte.
Parabel vs. Hyperbel
Der Unterschied zwischen einer Parabel und einer Hyperbel besteht darin, dass die Parabel eine einzelne offene Kurve mit einer Exzentrizität ist, während eine Hyperbel zwei Kurven mit einer Exzentrizität größer als eins hat.
Eine Parabel ist eine einzelne offene Kurve, die sich bis ins Unendliche erstreckt. Es ist U-förmig und hat einen Fokus und eine Leitlinie.
Eine Hyperbel ist eine offene Kurve mit zwei unverbundenen Zweigen. Es hat zwei Brennpunkte und zwei Direktionen, eine für jeden Zweig.
Vergleichstabelle zwischen Parabel und Hyperbel (in Tabellenform)
| Vergleichsparameter | Parabel | Hyperbel |
|---|---|---|
| Definition | Eine Parabel ist ein Ort der Punkte, die den gleichen Abstand von einem Brennpunkt und einer Leitlinie haben. | Eine Hyperbel ist ein Ort der Punkte, die einen konstanten Unterschied zu zwei Brennpunkten aufweisen. |
| Form | Die Parabel ist eine offene Kurve mit einem Brennpunkt und einer Leitlinie. | Die Hyperbel ist eine offene Kurve mit zwei Ästen, die zwei Brennpunkte und zwei Richtungen hat. |
| Exzentrizität | Die nicht negative Exzentrizität einer Parabel ist eins. | Die nicht negative Exzentrizität e einer Hyperbel ist größer als eins. |
| Schnittpunkt der Ebene | Der Schnittpunkt der Ebene ist parallel (Idealfall) zur schrägen Höhe des Kegels. | Der Schnittpunkt der Ebene ist parallel (Idealfall) zur senkrechten Höhe des Doppelkegels. |
| Allgemeine Gleichung | Die allgemeine Gleichung der Parabel lautet y = ax², a ≠ 0 | Die allgemeine Gleichung der Hyperbel lautet x²/a² – y²/b² = 1 |
Was ist Parabel?
Eine Parabel ist der Ort aller Punkte, die von einem Punkt und einer Linie gleich weit entfernt sind. Dieser Punkt wird Fokus genannt, und diese Linie wird als Leitlinie bezeichnet.
Eine Parabel entsteht, wenn eine Ebene einen Kegel parallel (Idealfall) zu seiner schrägen Höhe schneidet.
Die allgemeine Gleichung einer Parabel ist gegeben als
y = ax², a ≠ 0
Der Wert von a bestimmt die Form der Kurve.
Bei a > 0 öffnet sich die Mündung der Parabel nach oben.
Bei a < 0 öffnet sich die Mündung der Parabel nach unten.
Der Fokus der obigen Parabel ist (0, 1/4a). Die Leitlinie ist (-1/4a).
Wenn jedoch a=1 ist, wird die Parabel als Einheitsparabel bezeichnet.
Eine Parabel hat eine Exzentrizität von eins.
Eine Parabel ist um ihre Achse symmetrisch. In unendlicher Entfernung erscheinen die Kurven als parallele Linien.
Was ist Hyperbel?
Eine Hyperbel ist der Ort aller Punkte, die eine konstante Differenz von zwei verschiedenen Punkten aufweisen. Diese Punkte werden die Brennpunkte der Hyperbel genannt.
Eine Hyperbel entsteht, wenn eine feste Ebene einen Kegel parallel zu seiner senkrechten Höhe schneidet.
Die allgemeine Gleichung einer Hyperbel ist gegeben als
(x-α)²/a² – (y-β)²/b² = 1
Die Brennpunkte der obigen Hyperbel sind (α ± sqrt(a²+b²), β).
Die Eckpunkte sind (±a, β).
Eine Hyperbel hat eine Exzentrizität größer als eins.
Eine Hyperbel hat zwei Symmetrieachsen. Dies sind die transversale Achse und die konjugierte Achse.
Hauptunterschiede zwischen Parabel und Hyperbel
Eine Parabel und eine Hyperbel sind Kegelschnitte. Sie haben unterschiedliche Formen und Eigenschaften.
Die Hauptunterschiede zwischen den beiden sind:
Fazit
Kegelschnitte bestehen aus Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln. Sie werden als Kegelschnitte bezeichnet, weil sie durch den Schnitt eines Kegels mit einer Ebene abgeleitet werden. Parabeln sind eine einzelne unendliche Kurve. Sie sind der Ort von Punkten, die vom Fokus und der Leitlinie gleich weit entfernt sind.
Hyperbeln sind Kurven mit zwei Ästen. Sie sind der Ort von Punkten, die einen konstanten Abstandsunterschied von zwei Brennpunkten aufweisen. Der Unterschied liegt in ihrer Exzentrizität. Parabeln haben eine Exzentrizität von eins, während Hyperbeln eine Exzentrizität von größer als eins haben.
Parabeln haben verschiedene Anwendungen im wirklichen Leben. Sie werden in Architektur, Ingenieurwesen, Raumfahrzeugdesign, Reflektoren und holografischen Filmen verwendet. Hyperbeln sind in der Funktechnik, im Satellitendesign, in Linsen, Computern und Sonnenuhren beliebt. Tatsächlich hat unser Universum die Form einer Hyperbel.
